Porque el 1 no es primo

El 1 sólo puede dividirse por un número, el propio 1, por lo que con esta definición el 1 no es un número primo. Es importante recordar que las definiciones matemáticas se desarrollan y evolucionan. A lo largo de la historia, muchos matemáticos consideraron que el 1 era un número primo, aunque ahora no sea una opinión común.

Así que cuando se debate si el 1 es un número primo, estoy dispuesto a llamarlo empate. Un amigo ingeniero me sorprendió hace poco diciendo que no estaba seguro de si el número 1 era primo o no. Me sorprendió porque entre los matemáticos, el 1 es considerado universalmente como no primo.

La confusión comienza con esta definición que una persona puede dar de «primo»: un número primo es un número entero positivo que sólo es divisible por 1 y por sí mismo. El número 1 es divisible por 1, y es divisible por sí mismo. Pero él mismo y 1 no son dos factores distintos.

¿Es 1 primo o no? Cuando escribo la definición de primo en un artículo, intento eliminar esa ambigüedad diciendo que un número primo tiene exactamente dos factores distintos, 1 y él mismo, o que un primo es un número entero mayor que 1 que sólo es divisible por 1 y por él mismo. Pero, ¿por qué llegar a esos extremos para excluir el 1?

Mi formación matemática me enseñó que la buena razón para que el 1 no se considere primo es el teorema fundamental de la aritmética, que afirma que todo número puede escribirse como producto de primos exactamente de una manera. Si el 1 fuera primo, perderíamos esa unicidad. Podríamos escribir 2 como 1×2, o 1×1×2, o 1594827×2.

Excluir el 1 de los primos lo suaviza. El número uno es mucho más especial que un primo. Es la unidad, el bloque de construcción de los enteros positivos, por lo que es el único número entero que merece su propio axioma de existencia en los axiomas de Peano.

Es la única identidad multiplicativa 1-a = a-1 = a para todos los números a. Es la única potencia enésima perfecta para todos los enteros positivos n. Es el único entero positivo con exactamente un divisor positivo.

Pero no es un primo. ¿Por qué no lo es? A continuación damos cuatro respuestas, cada una más técnica que su precursora.

Si esta pregunta le interesa, puede consultar la historia de la primalidad de uno tal y como se describe en nuestros documentos: ¿Cuál es el primo más pequeño? [CX2012] y La historia de la primalidad del uno: una selección de fuentes [CRXK2012]. Estos documentos repasan la historia del concepto de primo y del número uno.

Quizá le sorprenda saber que durante la mayor parte de la historia el uno ni siquiera se consideraba un número, sino la fuente del número, por lo que obviamente no se consideraba primo. Esto debería añadirse a esta página como otra razón por la que el uno no se considera primo: por su uso histórico. Si quieres profundizar mucho más en la historia, lee el primero de estos dos artículos académicos: ¡ambos son fácilmente accesibles en la web!

Véase también la nota técnica en la definición del Glosario sobre el primer nivel. Hubo un tiempo en que mucha gente definía el uno como un primo, pero es la importancia de las unidades y los primos en las matemáticas modernas lo que hace que seamos mucho más cuidadosos con el número uno y con los primos. Cuando sólo consideramos los enteros positivos, el papel del uno como unidad se desdibuja con su papel como identidad; sin embargo, cuando observamos otros anillos numéricos, un término técnico para los sistemas en los que podemos sumar, restar y multiplicar, vemos que la clase de unidades tiene una importancia fundamental y que deben encontrarse antes de que podamos siquiera definir la noción de primo.

Por ejemplo, así es como Borevich y Shafarevich definen el número primo en su texto clásico Teoría de Números: A veces los números con esta propiedad se llaman irreducibles y luego se reserva el nombre de primo para aquellos números que cuando dividen un producto ab, deben dividir a o b estas clases son las mismas para los enteros ordinarios – pero no siempre en sistemas más generales. Sin embargo, las unidades son un precursor necesario de los primos, y se cae en la clase de las unidades, no de los primos. Prueba: La definición de un número primo es un número entero positivo que tiene exactamente dos divisores positivos.

Sin embargo, el 1 sólo tiene un divisor positivo, el mismo 1, por lo que no es primo. Respuesta: Esto es sólo una cuestión de definición. A los matemáticos les encanta definir las cosas; deciden que 1 no debe ser primo, porque pueden hacerlo.

Por supuesto, los matemáticos también tienen razones cuando definen cosas, y no toman esta decisión por capricho. En este caso, una de las razones es el teorema fundamental de la aritmética: El estudiante señala la definición común, algo parecido a: «un número primo es divisible precisamente por dos números: 1 y él mismo». Como el 1 no es divisible por dos números, no es primo.

Que un número especialmente la unidad [es decir, el 1] sea o no primo es una cuestión de definición, es decir, una cuestión de elección, contexto y tradición, no una cuestión de prueba. Sin embargo, las definiciones no se hacen al azar; estas elecciones están ligadas a nuestro uso de las matemáticas y, especialmente en este caso, a nuestra notación.

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